シラバス

GC11201

解析 II Analysis II

標準履修年次: 2年専門基礎・必修 ・2 単位
春学期AB  金曜日  1・2時限  7A105, 7C202
担当教員: 平賀 譲

概要

「解析 I」 の内容を受けて、級数及び多変数関数(主として2変数関数)の解析を講義する。
新たに接することになる多変数関数の基本的な性質、偏微分、(全)微分、重積分などの用語・概念・理論について基礎から説明し、また実地に応用していくための計算力や思考法を養成していくことを目指す。

学習・教育目標

  1. 級数の基本的性質とその応用について理解する。
  2. 2変数関数を範例に、多変数関数に特有の概念や、それらの微分・積分の理論的基礎を理解する。
  3. 級数、微積分(偏微分・重積分)等に関する基礎的な計算力や技術を身につける。
  4. それらを具体的な問題解決に結びつける応用力を養う。
  5. Mathematica, Matlab 等の数学ツールを利用した数学計算についても触れる。

授業計画

講義内容
第 1〜3 週 級数
級数の収束と発散、整級数、関数列・関数級数とそれらの収束性
第 3〜7 週 多変数関数の基礎、微分とその応用(実際の講義では2変数関数を中心に扱う)
多変数関数の定義と性質、点列・関数の極限、関数の連続性
偏微分・偏導関数の定義と公式、高次偏導関数、(全)微分、微分形式
各種の応用(停留点の分類と極値問題、陰関数・逆関数定理、条件付き極値問題等)
第 8〜10 週 多変数関数の積分とその応用
重積分の定義と公式、変数変換とヤコビアン、広義積分、各種の応用(体積計算など)
時間があれば線積分とベクトル解析入門などその他の話題にも触れる。

教材・参考書等

教科書・教材
  • 齋藤正彦「微分積分学」(東京図書, 2006)の第4・5・6章 (2014 「解析 I」教科書と同じ)
  • 授業資料は適宜配布あるいはオンライン公開する。
参考書
  • 解析学関連の教科書・参考書は多数存在する。 内容的にも、高度な専門向けのものから、入門書・啓蒙書の類まで様々である。 そのすべてを紹介することはできないので、 図書館や書店などで「偏微分・重積分」などをキーワードに、自分に合ったものを探すとよい。
  • 専門的・高度な内容のものとしては以下のものがある。 これらを独力で読解するのは大変だが、内容が網羅的で証明等も精密に記されているので、 手元に参照用におくことを勧める。
    • 高木貞治:「解析概論」(岩波書店)
    • 杉浦光夫:「解析入門 I, II」(東京大学出版会)
  • 一般向けのものとして、志賀浩二氏の一連の著作特に以下の2つのシリーズは、 特定の1冊が本授業の内容に対応しているわけではないが、 専門レベルの数学全般への入門として独学することを強く勧める。
    • 「30 講」シリーズ(全 10 巻:朝倉書店)、特に「5. 解析入門 30 講」、「7. ベクトル解析 30 講」
    • 「数学が育っていく物語」シリーズ(全 6 巻:岩波書店)
    他にも良書は多数あるので、授業においても随時紹介していく。

成績評価

  • 数回程度のレポート提出と、期末試験の結果を合わせて評価する。
  • また原則として毎回授業時に演習ないし小テストを実施し、学習状況を点検する。
  • 試験・レポートは評価の内容・観点が異なるのでそれらの結果に応じて総合的に成績を判定する。

授業外の学習内容・方法

  • レポート提出はもとより、きちんと授業内容を復習(及び予習)しておくこと。
  • 授業時の演習・小テストの結果に応じて、学習内容や方法を点検・修正すること。

予備知識・前提条件

「解析 I」 を履修していることが前提となる。
「解析 I」の単位を取得していなくても履修はできるが、その知識を前提とするので単位取得は困難となる。

講義のホームページ

http://www.slis.tsukuba.ac.jp/~hiraga/analysis2/  (予定:manaba も利用する)

教員連絡先・オフィスアワー

教員一覧ページ を参照。 個別には別途指示する。

備考

他の数学科目・数理科目の基礎となるので、それらの履修前に本科目を必ず履修しておくこと。